تحقیق تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی ۲۷ ص

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات
دسته بندی : وورد
نوع فایل :  word (..DOC) ( قابل ویرایش و آماده پرینت )
تعداد صفحه : ۲۷ صفحه

 قسمتی از متن word (..DOC) : 
 

‏تعاریف‏ و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی
‏اندازه‏ کمان بر حسب رادیان، دایره مثلثاتی
‏دانش‏‌‏آموزان‏ ‏اولین‏ چیزی را که در مطالعه توابع مثلثاتی باید بخاطر داشته باشند این است که ‏شناسه‏‌‏های‏ (متغیرهای) این توابع عبارت از اعداد حقیقی هستند. بررسی عباراتی نظیر sin1‏،‏ cos15‏،‏ (نه عبارات sin10‏،‏ cos150‏،‏) ، cos (sin1)‏ ‏گاهی‏ اوقات به نظر دانشجویان دوره‌های پیشدانگاهی مشکل می‌رسد.
‏با‏ ‏ملاحظه‏ توابع کمانی مفهوم تابع مثلثاتی نیز تعمیم داده می‌شود. در این بررسی دانش‌آموزان ‏با‏ کمانی‌هایی مواجه خواهند شد که اندازه آن‌ها ممکن است بر حسب هر عددی از درجات ‏هم‏ منفی و هم مثبت بیان شود. مرحله اساسی بعدی عبارت از این است که اندازه درجه (اندازه شصت قسمتی) به اندازه رادیان که اندازه‌ای معمولی‌تر است تبدیل می‌شود. در ‏حقیقت‏ تقسیم یک دور دایره به ۳۶۰ قسمت (درجه) یک روش سنتی است. اندازه زاویه‌ها ‏برحسب‏ رادیان بر اندازه طول کمان‌های دایره وابسته است. در اینجا واحد اندازه‌گیری ‏یک‏ رادیان است که عبارت از اندازه یک زاویه مرکزی است. این زاویه به کمانی نگاه می‌کند ‏که‏ طول آن برابر شعاع همان دایره است. بدین ترتیب اندازه یک زاویه بر حسب رادیان ‏عبارت‏ از نسبت ط‏ول‏ کمان مقابل به زاویه بر شعاع دایره‌ای است که زاویه مطروحه در ‏آن‏ یک زاویه مرکزی است. اندازه زاویه برحسب رادیان را اندازه دوار زاویه نیز می‌گویند. ‏از‏ آنجا که محیط دایره‌ای به شعاع واحد برابر ‏ ‏است‏ از اینرو طول کمان ‏ ‏برابر‏ ‏ ‏رادیان‏ خواهد بود. در ‏نتیجه‏ ‏ ‏برابر‏ ‏ ‏رادیان‏ خواهد شد.
‏مثال‏۱-۱-۱- ‏کمانی‏ به اندازه یک رادیان برابر چند درجه است؟
‏جواب‏: ‏تناسب‏ زیر را می‌نویسیم:
‏اگر‏ ‏ ‏باشد‏ آنگاه ‏ ‏یا‏ ‏ ‏را‏ خواهیم داشت.
‏مثال‏ ۲-۱-۱ کمانی به اندازه ‏ ‏رادیان‏ برابر چند درجه ‏است؟
‏حل‏: اگر ‏ ‏و‏ ‏ ‏باشد‏ آنگاه
‏۲- دایره ‏مثلثاتی‏.‏ ‏در‏ ملاحظه اندازه یک کمان چه بر حسب درجه و چه برحسب ‏رادیان‏ آگاهی از جهت مسیر کمان از نقطه مبدا A1‏ ‏به‏ نقطه A2‏ ‏حائز‏ اهمیت است. مسیر کمان از ‏نقطه‏ مبدأ به نقطه مقصد در جهت خلاف حرکت عقربه‌های ساعت معمولاً مثبت در نظر ‏گرفته‏ می‌شود. در حالیکه در ‏جهت‏ حرکت عقربه‌های ساعت منفی منظور می‌شود.
‏معمولاً‏ ‏انتهای‏ سمت راست قطر افقی دایره مثلثاتی به عنوان نقطه مبدأ اختیار می‌شود. نقطه ‏مبدأ‏ دایره دارای مختصات (۱,۰)‏ ‏خواهد‏ بود. آن را بصورت A=A(1,0)‏ ‏نشان‏ می‌دهیم. همچنین نقاط D,C,B‏ ‏از‏ ‏این‏ دایره را بترتیب با مختصات B=(0,1)‏،‏ C=(-1,0)‏،‏ D=(0,-1)‏ ‏داریم‏.
‏دایره‏ ‏مثلثاتی‏ را با S‏ ‏نشان‏ می‌دهیم. طبق آنچه که ذکر شد چنین داریم:
‏ ۳- پیچش محور حقیقی به دور دایره مثلثاتی. ‏در‏ ‏تئوری‏ توابع مثلثاتی نگاشت ‏ ‏از‏ R‏ ‏مجموعه‏ ‏اعداد‏ حقیقی روی دایره مثلثاتی که با شرایط زیر انجام می‌شود نقش اساسی را ایفا می‌کند:
‏عدد‏ t=0‏ ‏روی‏ محور اعداد حقیقی با نقطه ‏: A‏ ‏همراه‏ می‌شود.
‏اگر‏ ‏ ‏باشد‏ آنگاه در دایره ‏مثلثاتی‏ نقطه ‏ ‏را‏ به عنوان نقطه مبدا ‏کمان‏ AP1‏ ‏در‏ نظر گرفته و بر محیط دایره ‏مسیری‏ به طول T‏ ‏را‏ در جهت مثبت اختیار می‌کنیم، نقطه مقصد این مسیر را با Pt‏ ‏نشان‏ ‏داده‏ و عدد t‏ ‏را‏ با نقطه Pt‏ ‏روی‏ دایره مثلثاتی همراه می‌کنیم. ‏یا‏ به عبارت دیگر نقطه Pt‏ ‏تصویر‏ نقطه A=P0‏ ‏خواهد‏ بود وقتی که صفحه مختصاتی ‏حول‏ مبدا مختصاتی به اندازه t‏ ‏رادیان‏ چرخانده شود.
‏اگر‏ ‏ ‏باشد‏ آنگاه با شروع از ‏نقطه‏ A‏ ‏بر‏ محیط دایره در جهت منفی، مسیری به طول ‏ ‏را‏ مشخص می‌کنیم. فرض ‏کنید‏ که Pt‏ ‏نقطه‏ مقصد این مسیر را نشان دهد و نقطه‌ای متناظر به عدد منفی t‏ ‏باشد‏.
‏همانطوریکه‏ ‏ملاحظه‏ شد جوهره نگاشت ‏: P‏ ‏این‏ نکته را می‌رساند که نیم‌محور مثبت اعداد حقیقی در جهت مثبت ‏بر‏ روی S‏ ‏می‏‌‏خوابد؛‏ در حالیکه نیم‌محور منفی اعداد حقیقی در جهت منفی بر ‏روی‏ S‏ ‏می‏‌‏خوابد‏. این نگاشت بک‌بیک نیست: اگر ‏ ‏به‏ عدد ‏ ‏متناظر‏ باشد یعنی اگر F=P‏ ‏باشد‏ آنگاه ‏این‏ نقطه نیز به اعداد ‏ ‏متناظر‏ خواهد بود:
‏در‏ ‏حقیقت‏ با افزودن مسیری با طول ‏ (در جهت مثبت و یا در ‏جهت‏ منفی) به مسیری به طول t‏ ‏مجدداً‏ به نقطه
F‏ ‏خواهیم‏ رسید. نگاره وارون کامل P-1(Pt)‏ ‏نقطه‏ Pt‏ ‏با‏ ‏مجموعه‏ ‏ ‏تطابق‏ دارد.
‏توجه‏: ‏عدد‏ t‏ ‏معمولاً‏ با نقطه pt‏ ‏که‏ متناظر به این عدد است یکی ‏در‏ نظر گرفته می‌شود، با این حال مسائل باید به موضوع مطروحه نیز توجه کرد.
‏مثال‏۴-۱-۱- ‏همه‏ اعداد ‏ ‏را‏ که متناظر به نقطه ‏ ‏با‏ مختصات ‏ ‏است‏ تحت نگاشت P‏ ‏بدست‏ آورید.
‏حل‏: ‏بدلیل‏ رابطه زیر نقطه F‏ ‏عملا‏ روی S‏ ‏قرار‏ دارد:
‏فرض‏ ‏می‏‌‏کنیم‏ که Y,X‏ ‏پای‏ عمودهای مرسوم از نقطه F‏ ‏بر‏ روی محورهای مختصاتی OX‏ ‏و‏ OY‏ ‏باشند‏ (شکل ۳). آنگاه ‏ ‏بوده‏ و XFO‏ ‏مثلث‏ ‏متساوی‏‌‌‏الساقین‏ قائم‌الزاویه خواهد بود: ‏ ‏بدین‏ ترتیب اندازه کمان AF‏ ‏برابر‏ ‏ ‏بوده‏ و به نقطه F‏ ‏فقط‏ اعداد ‏ ‏متناظر‏ می‌شود.
‏یک‏ ‏تابع‏ متناوب دارای دورهای تناوب نامتناهی است؛ به اینصورت که بر اساس دوره تناوب T‏ ‏و‏ به ازاء ‏هر‏ عددی بصورت ‏ ‏که‏ در آن ‏ ‏به‏ صورت یک عدد صحیح ‏است‏ تابع دارای یک دوره تناوب می‌شود. کوچکترین ‏دوره تناوب مثبت یک تابع متناوب را دوره تناوب بنیادی می‏‌‏نامند.
‏قضیه۱-۱. توابع ‏ و ‏ با دوره تناوب بنیادی ‏ متناوب هستند.
‏قضیه ۲-۱. توابع ‏ و ‏ با دوره‏‌‏ تناوب بنیادی ‏ متناوب هستند.